Υπολογισμός εμβαδού κύκλου με διπλή ολοκλήρωση σε πολικές συντεταγμένες

\[ \begin{aligned} \int_{}^{}\int_{A}^{}dA &= \int_{0}^{2π}\int_{0}^{R}dA\\ \\ & = \int_{0}^{2π}\int_{0}^{R}rdθ·dr\\ \\ & =\int_{0}^{2π}\left( \int_{0}^{R}rdr \right) dθ\\ \\ & =\int_{0}^{2π} \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{R} dθ\\ \\ & =\int_{0}^{2π} \left[ \frac{R^2}{2}-0 \right]dθ\\ \\ & =\frac{R^2}{2}\int_{0}^{2π}dθ\\ \\ & =\frac{R^2}{2}\left[ θ \right]_{0}^{2π}\\ \\ & =\frac{R^2}{2}\left[ 2π-0 \right]\\ \\ & =πR^2 \end{aligned} \]